تداخل موج هاي نوري ( آزمايش يانگ)

پشت شكاف باريك s يك لامپ روشن قرار مي دهيم. اكنون اين شكاف خود مثل يك چشمه ي نور عمل مي كند. در فاصله ي كمي از s، دو شكاف موازي s1، S2 كه با S نيز موازي و هم فاصله اند. قرار مي دهيم. دو چشمه ي S1 و S2 مانند دو چشمه ي هم بسامد، هم دامنه و هم فاز عمل مي كنند و نور را در جهت هاي مختف گسيل مي كنند. نورهاي گسيل شده از دو چشمه ي s1 و s2 با هم تداخل كرده و نوارهاي تداخلي روشن و تاريک را روي پرده AB مقابل شکاف ها تشکيل مي دهند.

 

 

در موجي که به نقطه p0 روي محور تقارن دو شکاف مي رسند، هم فازاند. زيرا آنها دو راه مساوي s1p0 و s2p0 را تا پرده طي کرده اند. تداخل اين دو موج سازنده است و در نتيجه در محل p0 روي پرده يک نوار روشن تشکيل مي شود. حال نقطه p را در نظر بگيريد. پرتوهايي که از s1 و s2 به اين نقطه مي رسند دو مسير نامساوي s1p و s2p را طي مي کنند.

 

 

اختلاف فاز پرتوهايي که از s1 و s2 به نقطه p مي رسند از روي اختلاف راه آن ها تعيين مي شود.

 

 

اگر مضرب زوجي از   باشد، در اين صورت دو پرتويي که به پرده مي رسند هم فازاند و تداخل سازنده است و در اين نقطه ها نوار روشن تشکيل مي شود.

 

به ازاي n=0، اختلاف راه و اختلاف فاز صفر است و نوار روشن مرکزي تشکيل مي شود.

 

به ازاي n=1 اختلاف فاز است و اولين نوار روشن در دو طرف نوار روشن مرکزي تشکيل مي شود. حال اگر  مضرب فردي از باشد ، در اين صورت دو پرتوي که به پرده مي رسند در فاز مخالف هم اند و تداخل ويرانگر است و در اين نقطه ها نوار تاريک تشکيل مي شود.

به ازاي m=1 اولين نوار تاريک در دو طرف نوار مرکزي تشکيل مي شود. به ازاي مقادير ديگر m نوارهاي تاريک ديگر m نوارهاي تاريک و ديگر بين نوارهاي روشن تشکيل مي شود.

ادامه نوشته

شكست نور

شكست نور و عدسي ها

بخش اول شكست نور:

س: شكست نور چگونه است؟

ج: تعريف:    هنگامي كه پرتو نوري به طور مايل از يك محيط شفاف (مثل هوا)وارد محيط شفاف ديگري (مثل آب ) مي شود، در سطح جدا كننده دو محيط مسير آن تغيير مي كند، اين پديده را شكست نور مي گويند.

       

در شكل بالاپرتو AC پرتو تابش و پرتو CB پرتو شكست ناميده مي شود و نيز محيطي را كه نور در آن حركت مي كند محيط اول و محيطي را كه در آن شكست مي يابد محيط دوم مي گويند.

موارد ساده اي از اين پديده را در شكل زير مشاهده مي كنيد .

ادامه نوشته

پارادوكس شيپور گابريل

تابع حقیقی با ضابطه  ، را در نظر می گیریم و نمودار آن را در صفحه محورهای مختصات ( مانند شکل 1 ) رسم می کنیم .

 

شکل1

مرحله ي اول:سطح زیر منحنی به معادله ی ، و محدود به محورx ها و خط طبق رابطه ی زیر به دست می آید.

  : اندازه ي 

                                                                سطح A

ادامه نوشته

برسی دنباله ها

سوال:چند تا از توان هاي 2 با 7 شروع مي شوند؟

 

دنباله‌ي  را در نظر بگيريد. دنباله‌ي اعدادي كه عناصر اين دنباله با آن‌ها آغاز مي‌شوند را تشكيل دهيد.چند جمله‌ي اوّل اين دنباله عبارت هستند از : 

...,2,4,8,1,3,6,1,2,5 
 

اين دنباله را با  نشان مي‌دهيم. با كمي دقّت مي‌بينيم كه 7 در چند جمله‌ي اوّل اين دنباله ظاهر نمي‌شود. شايد در نظر اوّل چنين نتيجه گيري كنيم كه 7 اصلاً در اين دنباله ظاهر نمي‌شود امّا اگر كمي حوصله به خرج دهيم، خواهيم ديد كه اوّلين جايي كه 7 ظاهر مي‌شود جمله‌ي چهل و ششم است. چند جمله‌ي بعد از آن كه برابر 7 مي‌باشند عبارت هستند از: .
سؤالي كه در اين جا مطرح مي‌شود اين است كه چند جمله‌ي  برابر 7 است؟

ادّعا:ثابت مي‌كنيم كه بي‌نهايت جمله‌ي اين دنباله برابر 7 است.

مقدّمات اثبات ادّعا: با 7 آغاز مي‌شود اگر و تنها اگر عدد طبيعي k موجود باشد كه و اين معادل است با آن كه: يا معادلاً . چون  و پس با 7 آغاز مي‌شود اگر و تنها اگر  .
اكنون توجه شما را به دو لم زير جلب مي‌كنيم:

لم1: گنگ است.
اثبات:اگر گويا باشد پس اعداد صحيح p و موجودند كه  و لذا:

 

كه تناقض است، بنابراين  گنگ است.

ادامه نوشته

بازی مکعب ها

بازی مكعب هاي رنگي با چهار مکعب انجام می گیرد.ابتدا وجه های مکعب هارا رنگ می کنیم.دررنگ آمیزی وجه های هر مکعب، تمام رنگ های قرمز(R)،سفید(w)،آبی(B)،زرد(Y)،به کار رفته اند.مامی توانیم این چهارمکعب را به صورت های مختلفی رنگ آمیزی کنیم،که در این جا برای نمونه، شکل 1 را آورده ايم .

ادامه نوشته

اقای پترسن (مبدع نوعی گراف)

اسکار پترسن درگذشت

اسکار پترسون (Oscar Peterson) درگذشت. مرگ این نوازنده‌ی نامدار پیانو دوستداران سبک موسیقی جــَــز در سرتاسر جهان را غمگین ساخت. پترسون، اهل کانادا، در هنگام مرگ ۸۲ ساله بود. شهرت او در دهه ۱۹۵۰ آغاز شد. او که به تکنیک نوازندگی تسلطی استثنايی داشت، می‌توانست با پیانو دیالوگ‌های جانداری را پیش برد.

الگوریتم غربال

برای تشکیل فهرست همه عددهای اول تا یک عدد صحیح مفروض n می‌توان همه عددهای صحیح کوچکتر از n را به ترتیب نوشت، نخست همه آنهایی را که مضرب 2 هستند خط زده سپس همه آنهایی را در میان اعداد باقی‌مانده که مضرب 3 هستند خط‌‌ زده و همین‌طور به حذف سپس همه آنهایی را در میان اعداد باقی‌مانده که مضرب 3 هستند خط زد، و همین‌طور به حذف اعداد مرکب ادامه داد تا هیچ عدد مرکبی باقی نماند. این فرایند که به «غربال اراتستن» معروف است، تمام عددهای اول تا n را مشخص می‌سازد. جدولهای کاملی از عددهای اول تا حدود 10000000 به تدریج به وسیله صورتهای ظریفتری از این روش تهیه شده‌اند، و این جدولها توده عظیمی از داده‌های تجربی درباره توزیع و ویژگیهای اعداد اول در اختیار ما می‌گذارند. براساس آنها می‌توانیم حدس‌های بسیار موجهی بزنیم (چنانکه گویی نظریه اعداد یک علم تجربی است) که اثبات آنها اغلب بسیار دشوار است. 

 

                                                                                                   منبع سایت رشد

 

گراف پترسن

در نظریه گراف ، گراف پترسن گرافی غیر جهت دار ، با ۱۰ راس و ۱۵ یال است. این گراف ، گرافی کوچک می‌باشد که به عنوان مثالی مفید و همچنین مثال نقض در بسیاری از مسائل نظریه گراف به کار می‌رود.
جولیوس پترسن(۱۸۳۹-۱۹۱۰) دانشمندی دانمارکی بود که در سال ۱۸۹۸ گرافی را ، که به نام خودش ثبت شد، به عنوان کوچکترین گراف مکعبی (گرافی که هر راس آن از درجه ۳ باشد.) بدون پل ساخت. در واقع این گراف مثال نقضی برای این ادعا بود که یک گراف مکعبی بدون پل متصل ، داری یک رنگ آمیزی یالی با ۳ رنگ است. در حالی که این گراف دارای این رنگ آمیزی با ۴ رنگ می‌باشد. با این که این گراف به طور عمومی به جولیوس پترسن نسبت داده می‌شود ، ولی درحقیقت برای اولین بار ۱۲ سال زودتر از ساختن آن توسط وی ، در سال ۱۸۸۶ به وجود آمده بود.
دونالد نوث اذعان می‌کند که گراف پترسن ، شکل و پیکری قابل توجه‌است که به عنوان مثالی نقض برای بسیاری از اسناد و اثبات‌های خوش بینانه درباره این که چه چیزهایی ممکن است به طور عمومی برای گراف‌ها درست باشد ، به کار می‌رود.

ادامه نوشته

Calculate the Earth radius by Artesian style

در قرن سوم قبل از ميلاد يك يوناني به نام اراتستن با حدود 2 در صد خطا ( واقعا شگفت انگيزه كه در آن زمان كه هنوز نميدانستند كه زمين كروي است اراتستن با 2 درصد خطا شعاع زمين را اندازه گرفت ) شعاع زمين را اندازه گرفت.

در آسوان (شهري كنار رود نيل) مشاهده مي شد كه ظهر روز اول تابستان چاه هاي عميق به وسيله نور خورشيد روشن مي شود و ميله هاي عمود روي زمين سايه ندارند.

اراتستن در اسكندريه واقع در 790 كيلومتري آسوان در همين روز به خصوص ميلههای را به طور عمود روي زمين قرار داد و زاويه پرتو هاي خورشيد را با ميله اندازه گرفت.

طبق محاسبات او اين زاويه 7 درجه و 12 دقيقه يا حدود 0.02 يك دور كامل دايره به دست آمد.
در نتيجه خواهيم داشت:

km39500*790km/0.02=2 pi R

” نماد * به معنای ضرب است. “

چون زاويه به دست آمده با زاويه اي كه امتداد دو ميله ي عمود در دوشهر آسوان و اسكندريه ميسازد برابر است در نتيجه شعاع زمين به دست مي آيد:

R=39500/2 pi

كه اين مقدار با مقدار واقعي 80 كيلومتر اختلاف دارد. يعني خطايي در حدود 1.2٪

( منبع : Persiansky )

مساحت کاوالیری

هدف از این نوشته آشنایی شما با اصل مساحت کاوالیری است.

اگر فرض کنیم قاعده های دو شکل بر روی یک خط قرار گرفته باشند. اگر هر خطی موازی قاعده های دو شکل در آنها قطعه هایی با طول های مساوی ایجاد کند، مساحت های آن دو شکل برابر است.

ادامه نوشته

ایجاد انگیزه در کلاس درس ریاضی

نقش رابطه معلم و دانش آموز در ایجاد انگیزه :

یکی از چالشهای مهم موجود در آموزش ریاضی عدم برقراری ارتباط  عاطفی مثبت بین  معلمان این درس و دانش آموزان است .

متأسفانه این امر باعث به وجود آمدن تفکرات و دیدگاه های منفی در اذهان دانش آموزان و والدین آنها نسبت به درس ریاضی شده است .و ادامه این روند یعنی ناسازگاری در ارتباط مؤثر منجر به بی -علاقگی و حتی تنفر و انزجار بسیاری از افراد نسبت به درس ریاضی شده است.   

ادامه نوشته

ابوالوفا محمد بوزجانی

ابوالوفا محمد بوزجانی (۳۲۸-۳۸۸ هجری قمری):

 از ریاضیدانان بزرگ ایرانی است که حدود هزار سال پیش در روستای بوژگان در خراسان امروزی زاده شد. او در سال ۳۴۸ به عراق سفر کرد و تا پایان عمرش در آنجا زندگی کرد.وی مسائل لاینحل هندسه کلاسیک را حل کرد و تحقیقاتی در اصول ترسیمات هندسی نمود که تا امروز هنوز کسی موفق به ارائه راه حل دیگری نشده‌است و از این حیث مسئله ابوالوفا در جهان مشهور است و اولین کسی است که مطالعات دقیقی درباره کره ماه انجام دادکارهای وی در زمینههندسه كروي با کاربرد در نجوم كروي شگرف بوده‌است.به پاس خدمات وی به جامعه علمی، نام وی بر روی گودالی بر کره ماه نهاده شده‌است.

در سال ۱۳۷۸ همایشی بین المللی به منظور شناخت بیشتر وی و خدمات و آثارش در محل تولدش، تربت جام برگزار گردید

ابوالوفای بوزجانی واضع اتحاد مثلثاتي بود:‎

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

cos(2a) = 1 − 2sin²(a)

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

وی هم‌چنین قانون سینوس‌ها را برای مثلثات کروی کشف کرد:

ادامه نوشته

مشتق چیست؟

تعریف:مشتقّ تابعی مانند ، تابع دیگری مثل است که مقدارش در x با معادله‌ی زیر تعریف می‌شود:

به شرطی که این حد موجود و متناهی باشد.

بر طبق این تعریف، مقدار مشتق برابر نرخ تغییرات مقدار تابع است زمانی که تغییرات مربوط به متغیر مستقل به سمت صفر میل می‌کند.

 نحوه‌ی نمایش

مشتق اول یک تابع تک متغیره را می‌توان به صورت‌های زیر نشان داد:

• 
•  

 

ادامه نوشته

‍جبر و احتمال (مجموعه)

ضرب دکارتی:ضرب دکارتی یا حاصلضرب دکارتی (Cartesian product) دو مجموعه عملگری در ریاضیات است که برای ایجاد زوج مرتب از اعضای دو مجموعه عمل‌وند آن به‌کار می‌رود. با استفاده از این عمل تمام ترکیبات ممکن دوتایی از اعضای دو مجموعه ایجاد خواهد شد. در زوج‌های مرتّب تولید شده عضو نخست از اولین مجموعه و عضو دو از دومین مجموعه انتخاب می‌شود.

تعریف

حاصلضرب دکارتی مجموعه‌های X و Y به صورت نوشته شده و تعریف زیر را دارا است:

 

عملیات دوتایی
عددی	تابعی	مجموعه‌ای	ساختاری
مقدماتی + جمع – تفریق × ضرب ÷ تقسیم ^ توان حسابی div خارج قسمت اقلیدسی mod باقیمانده اقلیدسی ∧ بزرگترین مقسوم علیه مشترک ∨ کوچکترین مضرب مشترک ترکیباتی ( ) ضریب بینم A جایگشت	∘ ترکیب ∗ کانولوشن	جبر مجموعه‌ها ∪ اجتماع \ مجموعه مکمل ∩ اشتراک Δ تفاوت متقارن ترتیب کلی min کمینه max بیشینه توری‌ها ∧ کرانه تحتانی ∨ کرانه فوقانی	مجموعه‌ها × ضرب دکارتی ⊔ اجتماع منفصل ^ توان مجموعه‌ای گروه‌ها ⊕ حاصل‌جمع مستقیم ∗ حاصل ضرب آزاد ≀ produit en couronne مدول‌ها ⊗ ضرب تانسوری Hom هومومورفیزم Tor پیچش Ext extensions	درخت‌ها ∨ enracinement واریته‌های متصل # جمع متصل فضاهای نقطه‌دار ∨ bouquet ∧ smash produit ∗ joint
	برداری
	(.) ضرب اسکالر ∧ ضرب برداری
	جبری
	[,] کروشه لی {,} کروشه پواسون ∧ ضرب خارجی
	هومولوژی
	∪ cup-produit • حاصل ضرب اشتراک	ترتیبی
		+ الحاق
منطق بولی
∧ عطف منطقی	∨ فصل منطقی	⊕ یای انحصاری	⇒ استلزام منطقی	⇔ اگر و فقط اگر

مسئله؟؟؟؟

 ) صد  جعبه پر از سکه داریم ، که سکه های یکی از جعبه ها معیوب است . ( مثلا تمام سکه های داخل آن جعبه یک گرم از سکه های داخل جعبه های دیگر کمتر است ) با یک ترازوی یک کفه ای حداقل با چند باز وزن کردن می توان جعبه سکه های معیوب را پیدا کرد ؟

2 )صد  جعبه پر از سکه داریم که سکه های 2 تا جعبه معیوب است . با چند بار می توان جعبه ی حاوی سکه های معیوب را پیدا کرد ؟

رياضيات آنقدر شيرين است كه!

ریاضیات انقدر لذت بخشه که آدم توش حسابی غرق میشه ، به مقداری از این ریاضیات  در ادامه ی توجه کنید .

 

ادامه نوشته

مي دانستيد:

سينوس(كوسينوس(تانژانت(هرعددي)))=تانژانت(كوسينوس(سينوس(هرعدد ديگري))) !!
در همينطور هرعددي رو ازش سينوس(كوسينوس(تانژانت())) بگيريد همراه مساوي يه عدد خاص در مياد
به نظر شما اين همون راه مستقيم نيست ؟! همون هدف اصلي و اينكه همه بايد به يه انتها و معاد ختم بشيم؟

رباضی محض و کازبردی

ماهيت كار :

رياضي يكي از قديمي ترين و پايه اي ترين رشته هاي علوم است . رياضي دانان از نظريه هاي رياضي , روشهاي محاسبه , آلگوريتمها و آخرين دستاوردهاي رايانه اي براي حل مسائل اقتصادي , علمي , مهندسي , فيزيك و تجاري استفاده مي كنند.كار رياضي دانان به دو بخش گسترده تقسيم مي شود . رياضي محض و رياضي كار بردي . اين دو گروه كاملا از يكديگر قابل تمايز نبوده و اغلب بايكديگرهمپوشاني دارند

ادامه نوشته

رياضي!؟

موضوع‌های اصلی ریاضیات :

فهرستی الفبائی از عنوان‌های ریاضی موجود است. در زیر بعضی از اصلی‌ترین شاخه‌ها و موضوعات ریاضی به صورت دسته‌بندی شده ارائه شده است:

 کمیت

‌مجموعه، ‌رابطه، تابع، عمل، گروه، ميدان، عدد، اعداد طبیعی، اعداد بداست حسابی، اعداد رياضي اخ است صحیح، اعداد اول، اعداد مرکب، اعداد گویا، اعداد گنگ، اعداد حقیقی، ‌اعداد مختلط، اعداد جبری، عدد پی، عدد ای، چهارگان‌ها، هشت‌گان‌ها، شانزده‌گان‌ها، اعداد پی-ادیک، اعداد فوق پیچیده (Hypercomplex numbers)،اعداد فوق حقیقی (Hyperreal number)،اعداد فراواقعی (Surreal numbers)، بینهایت، اعداد ترتیبی، اعداد اصلی، ثابت‌های ریاضی، پایه

 ساختار

جبر مجرد	نظریه اعداد	نظریه گروه‌ها
توپولوژی	نظریه مدول‌ها	نظریه ترتیب

جبر مجرد، نظریه اعداد، هندسه جبری، نظریه گروه‌ها، مونوئیدها، آنالیز ریاضی، آنالیز تابعی، توپولوژی، جبر خطی، نظریه گراف، جبر عمومی، نظریه مدول‌ها، نظریه ترتیب، نظریه مزور

 فضا

توپولوژی	هندسه	مثلثات	هندسه دیفرانسیل	هندسه برخال‌ها

توپولوژی، هندسه، مثلثات، هندسه جبری، هندسه دیفرانسیل، توپولوژی دیفرانسیل، توپولوژی جبری، جبر خطی، هندسه برخال‌ها، متری

 تغییر

حساب	حسابان	حساب برداری	آنالیز ریاضی
معادلات دیفرانسیل	سیستم‌های دینامیکی	نظریه آشوب

حساب، حسابان، حساب برداری،‌ آنالیز ریاضی، معادلات دیفرانسیل، سیستم‌های دینامیکی، نظریه آشوب، فهرست تابع‌ها

 پایه‌ها و روش‌های ریاضیات

فلسفه ریاضیات، شهودگرایی، ساخت‌گرائی، مبانی ریاضیات، نظریه مجموعه‌ها، منطق نمادی، نظریه مدل، نظریه رسته‌ها، منطق ریاضی، ریاضیات معکوس، جدول نمادهای ریاضی

 ریاضیات گسسته

[1,2,3][1,3,2] [2,1,3][2,3,1] [3,1,2][3,2,1]
ترکیبیات	نظریه شهودی مجموعه‌ها	نظریه رایانش	رمزنگاری	نظریه گراف

ترکیبیات، نظریه شهودی مجموعه‌ها، نظریه رایانش، رمزنگاری، نظریه گراف

ریاضیات کاربردی

فیزیک ریاضی، مکانیک، مکانیک سیالات، آنالیز عددی، بهینه‌سازی، احتمالات، آمار، اقتصاد ریاضی، ریاضیات مالی، نظریه بازی‌ها، ریاضیات زیستی، رمزنگاری، نظریه اطلاعات

 

ادامه نوشته