پارادوكس شيپور گابريل

تابع حقیقی با ضابطه  ، را در نظر می گیریم و نمودار آن را در صفحه محورهای مختصات ( مانند شکل 1 ) رسم می کنیم .

 

شکل1

مرحله ي اول:سطح زیر منحنی به معادله ی ، و محدود به محورx ها و خط طبق رابطه ی زیر به دست می آید.

  : اندازه ي 

                                                                سطح A

ادامه نوشته

برسی دنباله ها

سوال:چند تا از توان هاي 2 با 7 شروع مي شوند؟

 

دنباله‌ي  را در نظر بگيريد. دنباله‌ي اعدادي كه عناصر اين دنباله با آن‌ها آغاز مي‌شوند را تشكيل دهيد.چند جمله‌ي اوّل اين دنباله عبارت هستند از : 

...,2,4,8,1,3,6,1,2,5 
 

اين دنباله را با  نشان مي‌دهيم. با كمي دقّت مي‌بينيم كه 7 در چند جمله‌ي اوّل اين دنباله ظاهر نمي‌شود. شايد در نظر اوّل چنين نتيجه گيري كنيم كه 7 اصلاً در اين دنباله ظاهر نمي‌شود امّا اگر كمي حوصله به خرج دهيم، خواهيم ديد كه اوّلين جايي كه 7 ظاهر مي‌شود جمله‌ي چهل و ششم است. چند جمله‌ي بعد از آن كه برابر 7 مي‌باشند عبارت هستند از: .
سؤالي كه در اين جا مطرح مي‌شود اين است كه چند جمله‌ي  برابر 7 است؟

ادّعا:ثابت مي‌كنيم كه بي‌نهايت جمله‌ي اين دنباله برابر 7 است.

مقدّمات اثبات ادّعا: با 7 آغاز مي‌شود اگر و تنها اگر عدد طبيعي k موجود باشد كه و اين معادل است با آن كه: يا معادلاً . چون  و پس با 7 آغاز مي‌شود اگر و تنها اگر  .
اكنون توجه شما را به دو لم زير جلب مي‌كنيم:

لم1: گنگ است.
اثبات:اگر گويا باشد پس اعداد صحيح p و موجودند كه  و لذا:

 

كه تناقض است، بنابراين  گنگ است.

ادامه نوشته

بازی مکعب ها

بازی مكعب هاي رنگي با چهار مکعب انجام می گیرد.ابتدا وجه های مکعب هارا رنگ می کنیم.دررنگ آمیزی وجه های هر مکعب، تمام رنگ های قرمز(R)،سفید(w)،آبی(B)،زرد(Y)،به کار رفته اند.مامی توانیم این چهارمکعب را به صورت های مختلفی رنگ آمیزی کنیم،که در این جا برای نمونه، شکل 1 را آورده ايم .

ادامه نوشته

اقای پترسن (مبدع نوعی گراف)

اسکار پترسن درگذشت

اسکار پترسون (Oscar Peterson) درگذشت. مرگ این نوازنده‌ی نامدار پیانو دوستداران سبک موسیقی جــَــز در سرتاسر جهان را غمگین ساخت. پترسون، اهل کانادا، در هنگام مرگ ۸۲ ساله بود. شهرت او در دهه ۱۹۵۰ آغاز شد. او که به تکنیک نوازندگی تسلطی استثنايی داشت، می‌توانست با پیانو دیالوگ‌های جانداری را پیش برد.

الگوریتم غربال

برای تشکیل فهرست همه عددهای اول تا یک عدد صحیح مفروض n می‌توان همه عددهای صحیح کوچکتر از n را به ترتیب نوشت، نخست همه آنهایی را که مضرب 2 هستند خط زده سپس همه آنهایی را در میان اعداد باقی‌مانده که مضرب 3 هستند خط‌‌ زده و همین‌طور به حذف سپس همه آنهایی را در میان اعداد باقی‌مانده که مضرب 3 هستند خط زد، و همین‌طور به حذف اعداد مرکب ادامه داد تا هیچ عدد مرکبی باقی نماند. این فرایند که به «غربال اراتستن» معروف است، تمام عددهای اول تا n را مشخص می‌سازد. جدولهای کاملی از عددهای اول تا حدود 10000000 به تدریج به وسیله صورتهای ظریفتری از این روش تهیه شده‌اند، و این جدولها توده عظیمی از داده‌های تجربی درباره توزیع و ویژگیهای اعداد اول در اختیار ما می‌گذارند. براساس آنها می‌توانیم حدس‌های بسیار موجهی بزنیم (چنانکه گویی نظریه اعداد یک علم تجربی است) که اثبات آنها اغلب بسیار دشوار است. 

 

                                                                                                   منبع سایت رشد

 

گراف پترسن

در نظریه گراف ، گراف پترسن گرافی غیر جهت دار ، با ۱۰ راس و ۱۵ یال است. این گراف ، گرافی کوچک می‌باشد که به عنوان مثالی مفید و همچنین مثال نقض در بسیاری از مسائل نظریه گراف به کار می‌رود.
جولیوس پترسن(۱۸۳۹-۱۹۱۰) دانشمندی دانمارکی بود که در سال ۱۸۹۸ گرافی را ، که به نام خودش ثبت شد، به عنوان کوچکترین گراف مکعبی (گرافی که هر راس آن از درجه ۳ باشد.) بدون پل ساخت. در واقع این گراف مثال نقضی برای این ادعا بود که یک گراف مکعبی بدون پل متصل ، داری یک رنگ آمیزی یالی با ۳ رنگ است. در حالی که این گراف دارای این رنگ آمیزی با ۴ رنگ می‌باشد. با این که این گراف به طور عمومی به جولیوس پترسن نسبت داده می‌شود ، ولی درحقیقت برای اولین بار ۱۲ سال زودتر از ساختن آن توسط وی ، در سال ۱۸۸۶ به وجود آمده بود.
دونالد نوث اذعان می‌کند که گراف پترسن ، شکل و پیکری قابل توجه‌است که به عنوان مثالی نقض برای بسیاری از اسناد و اثبات‌های خوش بینانه درباره این که چه چیزهایی ممکن است به طور عمومی برای گراف‌ها درست باشد ، به کار می‌رود.

ادامه نوشته

Calculate the Earth radius by Artesian style

در قرن سوم قبل از ميلاد يك يوناني به نام اراتستن با حدود 2 در صد خطا ( واقعا شگفت انگيزه كه در آن زمان كه هنوز نميدانستند كه زمين كروي است اراتستن با 2 درصد خطا شعاع زمين را اندازه گرفت ) شعاع زمين را اندازه گرفت.

در آسوان (شهري كنار رود نيل) مشاهده مي شد كه ظهر روز اول تابستان چاه هاي عميق به وسيله نور خورشيد روشن مي شود و ميله هاي عمود روي زمين سايه ندارند.

اراتستن در اسكندريه واقع در 790 كيلومتري آسوان در همين روز به خصوص ميلههای را به طور عمود روي زمين قرار داد و زاويه پرتو هاي خورشيد را با ميله اندازه گرفت.

طبق محاسبات او اين زاويه 7 درجه و 12 دقيقه يا حدود 0.02 يك دور كامل دايره به دست آمد.
در نتيجه خواهيم داشت:

km39500*790km/0.02=2 pi R

” نماد * به معنای ضرب است. “

چون زاويه به دست آمده با زاويه اي كه امتداد دو ميله ي عمود در دوشهر آسوان و اسكندريه ميسازد برابر است در نتيجه شعاع زمين به دست مي آيد:

R=39500/2 pi

كه اين مقدار با مقدار واقعي 80 كيلومتر اختلاف دارد. يعني خطايي در حدود 1.2٪

( منبع : Persiansky )